华罗庚恒等式

最后更新于：2023年2月24日下午

华罗庚恒等式有两个，都看似奇怪但都有其深刻的应用(数学内部的)

若在一个环中 $a,b,1-ab$ 都可逆，则 \[ \left( (a-b^{-1})^{-1} - a^{-1} \right)^{-1} = aba - a \]
若在一个环中 \[ a = \left( b^{-1} - (a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right) \left (a^{-1} b^{-1}a-(a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right)^{-1} \]

上面两个恒等式直接验算即知，可是华老当初怎么想到这两个很奇怪的恒等式呢，怎么导入的，有什么应用呢？

当然以下也只是我的个人猜测加上 Wikipedia 的一些参考。

在环中, 1-ba 可逆当且仅当 1-ab 可逆

\[ (1-ba)^{-1} = 1+ b(1-ab)^{-1}a \]

上面恒等式直接证明是显然的，应用却 666，6 到要吐。问题在于为什么想到这样奇怪的式子呢？思路怎么来的呢？我们知道，当 $0<x<1$ 时， \[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \] 因此，形式上我们有

讲上述不等式应用到矩阵形式即可得到 Sherman–Morrison 恒等式

在环中，若 $a,b,ab-1$ 可逆，则

由上面恒等式我们知道 \[ (ab-1)^{-1} = a(ba-1)^{-1}b - 1 \] 因此 \[ \begin{aligned} (a-b^{-1})^{-1} &= \left((ab-1)b^{-1} \right)^{-1} \\ &= b\left( a(ba-1)^{-1}b - 1 \right) \\ &= ba(ba-1)^{-1}b - b \\ &= (ba-1)^{-1}b \end{aligned} \]

注意到

\[ \begin{aligned} (ba-1)^{-1}b - a^{-1} &= (ba-1)^{-1}baa^{-1} - a^{-1} \\ &= (ba-1)^{-1}a^{-1} \\ &= (aba-a)^{-1} \end{aligned} \] 因此，华罗庚等式 1： $ ( (a-b^{-1}){-1} - a^{-1} )^{-1} = aba - a$ 得证。

一个重要恒等式

\[ b^{-1} - a^{-1} = ( b+b(a-b)^{-1}b )^{-1} \]

上面恒等式与逆算子连续性有关系。证明： \[ \begin{aligned} (b^{-1} - a^{-1})^{-1} &= (1-ba^{-1})^{-1}b \\ &=(1+b(1-a^{-1}b)^{-1}a^{-1})b \\ &= b+b(a-b)^{-1}b \end{aligned} \]