矩阵的 Jordan 分解

最近在整理李代数（Lie Algebra） 内容时，里面提到了 Jordan 分解，这里就详细介绍并证明几个相关结果。

1. 若矩阵 \(A,B\) 可交换，则它们有公共特征向量。
2. 若矩阵 \(A,B\) 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 \(A,B\) 交换
3. 每一个矩阵 \(A\) 都可以唯一分解成 \(A=B+C\), 其中 \(B\) 可对角化（半单部分），\(C\) 幂零。且 \(B,C\) 都可以写成 \(A\) 的无常数项的多项式。

下面证明这三个结果并给出说明其意义。

若矩阵 \(A,B\) 可交换，则它们有公共特征向量

证明：我们设 \(V\) 为 \(n\) 阶列向量全体。设 \(\lambda\) 为 \(B\) 的一个特征值。设 \[ W = \lbrace x \in V \mid Bx = \lambda x \rbrace \] 则对任意 \(x \in W\), \[ B(Ax) = A(Bx)=A(\lambda x)=\lambda(Ax) \] 即 \(Ax \in W\)。即 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间，因此，\(A\) 在 \(W\) 中有特征值 \(\mu\) 对应的特征向量 \(v\) 即为所求。

若矩阵 \(A,B\) 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 \(A,B\) 交换

证明：\(\rightarrow\) 是显然的。现证 \(\leftarrow\) 若 \(A,B\) 交换。 由条件知，存在可逆矩阵 \(P\) 使得 \(P^{-1}AP = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s})\)。由 \(A,B\) 交换知，\(P^{-1}AP P^{-1}BP = P^{-1}BP P^{-1}AP\)。因此 \[ P^{-1}BP = \left(\begin{matrix} B_1 \\ & B_2 \\ & & \ddots \\ & & & B_s \end{matrix}\right) \] 因为 \(B\) 可对角化，因此 \(B\) 的最小多项式无重根。所以 \(B_i\) 的最小多项式也无重根。因此 \(B_i\) 可对角化，存在可逆矩阵 \(Q_i\) 使得 \(Q_i^{-1}B_iQ_i\) 为对角阵。令 \(Q = diag(Q_1,\cdots,Q_s)\)，\(T=PQ\)，则 \(T^{-1}BT\) 为对角阵。 \[ T^{-1}AT = diag(Q_1^{-1},\cdots,Q_s^{-1})diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s}) diag(Q_1,\cdots,Q_s) = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s}) \]

Jodan 分解

每一个矩阵 \(A\) 都可以唯一分解成 \(A=B+C\), 其中 \(B\) 可对角化，\(C\) 幂零。且 \(B,C\) 都可以写成 \(A\) 的无常数项的多项式。

证明：首先对任意矩阵，我们有 Jordan 标准型：对任意矩阵 \(A\)，存在可逆矩阵 \(P\) 使得 \[ P^{-1} A P = \left(\begin{matrix} J_1(\lambda_1) \\ & J_2(\lambda_2) \\ & & \ddots \\ & & & J_s(\lambda_s) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda_1 E_{n_1} \\ & \lambda_2 E_{n_2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s E_{n_s} \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} J_1(0) \\ & J_2(0) \\ & & \ddots \\ & & & J_s(0) \end{matrix} \right) \]

由于 \(J_i(\lambda_i)\) 的化零多项式为 \(f_i(\lambda) = |\lambda I_i - J_i(\lambda_i)|\)。由中国剩余定理知。存在多项式 \(f(\lambda)\) 满足 \(f(\lambda) = \lambda_i (mod \; f_i),i=1,\cdots,s\) 且 \(f(\lambda)= 0 (mod \lambda)\)。此时

\[ P^{-1} f(A) P = \left(\begin{matrix} \lambda_1 E_{n_1} \\ & \lambda_2 E_{n_2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s E_{n_s} \end{matrix}\right) \] 令 \(B=f(A)，C=A-B\) 即为所求。上面的 \(B,C\) 是唯一的，因为，若存在 \(B_1,C_1\) 也满足上述条件，则 \(A,B,C,B_1,C_1\)彼此交换，\(B-B_1 = C_1 - C\) 是幂零的，因此 \(B=B_1,C=C_1\)。

对于 Jordan 分解，我们可以将一个矩阵分为所谓的半单部分和幂零部分，而由第二条结论知道，如果 \(A_1,A_2\) 可交换，那么 \(A_1+A_2\) 的半单部分即为 \(B_1+B_2\)。或者说的更明了一点就是，如果 \(A,B\) 可交换，且可以对角化，则 \(A+B\) 也可以对角化。

想到写这些完全是因为李代数忘掉 Lie 括号本身就是一个线性空间。