李代数
最后更新于：2023年2月24日 下午
近期在整理 Lie Algebra 课的笔记，还是很喜欢这门课的，主要是本科时候矩阵玩的特别 6，然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说，这些虽然很有技巧，但是你花时间都是可以处理的，会技巧没什么了不起，脑袋稍微好一点就能做这种事，长期技巧的训练其实意义并不大，应该更关注数学内部的东西，具体说就是一个代数对象的结构，分类，不变量，对象之间的同构。一个概念有哪些等价形式，与其它概念之间的关系，搞清楚这些更为重要，它们的证明只要大致知道怎么过来的就行。我们并不要把证明的细节放在心中，因为我们已经经过了多年的训练，相信我们通过大致步骤就能给出详细的证明，只是花的时间多少罢了。当然初学一个东西，去抠它的细节是无可厚非的。
以上纯属废话 0.0
定义
交换环 \(K\) 上的模 \(L\)，以及一个运算 \(L \times L \to L,(x,y) \mapsto [x,y]\) 称为 \(x,y\) 的 Lie 括号，或交换子，并称 \(L\) 是 \(K\) 上的 Lie Algebra，如果满足如下公理。 L1. \([\cdot,\cdot]\) 是双线性的； L2. \([x,x]=0\) 对任意 \(x \in L\) 成立； L3. \([x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\) (Jacobi 恒等式)
若 \([L,L]=0\) 则上面结论显然成立，此时称为 Abelian Lie Algebra。
我们通常并不考虑 Abelian Lie Algebra。并且要求交换环 \(K\) 是域 \(F\)，很多时候还要求 \(F\) 是特征为 0 的代数闭域，另外我们大多考虑 \(L\) 是 \(F\) 上的有限维线性空间。
子，理想，商，同态，表示等一系列的概念和其它代数结构几乎一致。可以划入范畴中。另外单，半单，Radical 等这些概念也于环里面的类似，就不赘述了。
样板 Lie Algebra
若 \(V\) 是 \(F\) 上有限维线性空间，\(End V\) 表示 \(V\) 到 \(V\) 的线性变换全体按照元素的复合构成了 \(F\) 上的线性空间且 \(\dim End V = (\dim V)^2\)。也构成了 \(End V\) 是一个结合 \(F\)-代数。而任何结合代数都可以诱导一个 Lie 代数： \([x,y]=xy - yx\) 。为了强调 Lie 结构，我们用 \(\mathbb{gl}(V)\) 代替 \(End V\)，称为 general linear algebra。它在 Lie 代数中充当的角色很类似于置换群在群中的角色。我们知道半单 Lie 代数同构于 \(\mathbb{gl}(V)\) 的一个子 Lie 代数。
导子和伴随表示
我们称一个 \(F-\)代数 \(A\)（可以非结合）也可以借助导子(derivation)诱导一个 Lie 代数，称一个导子是指一个线性映射 \(\delta: A \to A\) 满足 \(\delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)\)。易知导子 \(Der A\) 全体构成了 \(End A\) 的一个子空间，由于 \([\delta,\delta’] \in Der A\)，因此 \(Der A\) 构成了 \(\mathbb{gl}(V)\)的一个子 Lie 代数。 由于 Lie 代数 \(L\) 也是 \(F\)-代数,因此我们也可以定义 \(Der L\)。这里的导子本质上就是 Jacobi 恒等式的变形。 定义 \(ad_x: L \to L,y \mapsto [x,y]\)，实际上 \(ad_x \in Der L\)。\(L \to Der L,x \mapsto ad_x\) 称为 \(L\) 的伴随表示(adiont representation)。
可解和幂零
对于给定 Lie 代数 \(L\)，我们有理想降链 \(L^{(0)} = L,L^{(1)}=[L^{(0)},L^{(0)}],\cdots,L^{(i)}=[L^{(i-1)},L^{(i-1)}],\cdots\)。若存在 \(n\) 使得 \(L^{(n)} = 0\) 则称 \(L\) 可解(slovable)。
- 若\(L\) 可解，\(L\) 的子代数和同态像可解
- \(I\) 是 \(L\) 的可解理想，若 \(L/I\) 可解，则 \(L\) 可解。
- \(I,J\) 是 \(J\) 的可解理想，则 \(I+J\) 也是。
由上述性质可知，\(L\) 有唯一的极大可解理想。即为 \(Rad L\),若 \(Rad L =0\) 则称之为半单的，等价于 \(L\) 无非零 Abelian 理想(充分性显然，必要性是因为 \(Rad L\) 可解，考虑最后一个非 0 项必然是 Abelian 理想矛盾)。另外 我们称 \(x \in End V\) 半单，若 \(x\) 的极小多项式无重根。
对于给定 Lie 代数 \(L\)，我们有理想降链 \(L^0 = L,L^1=[L, L^0],\cdots,L^i=[L, L^{i-1}],\cdots\)。若存在 \(n\) 使得 \(L^{n} = 0\) 则称 \(L\) 幂零(nilpotent)。
- 若\(L\) 幂零，\(L\) 的子代数和同态像幂零。
- 若 \(L/Z(L)\) 幂零。则 \(L\) 幂零。
- 若 \(L\) 幂零且非 0，则 \(Z(L) \neq 0\)。
显然由于 \(L^{(i)} \subset L^i\) 因此幂零一定可解，但是反之则不尽然，例如 \(\mathbb{gl}(V)\) 中对应的上三角矩阵全体构成的 Lie 代数。由 Lie 定理的推论知：
\(L\) 可解的充要条件是 \([L,L]\) 幂零。
ad-nilpotent
\(L\) 是一个 Lie 代数，\(x \in L\), 称 \(x\) ad-nilpotent 是指 \(ad_x\) 幂零。 易知若 \(x\) 幂零，则 \(ad_x\) 幂零，但是反之不尽然。然而我们有 Engel 定理：
\(L\) 幂零当且仅当 \(ad L\) 幂零
一些重要结果
这里罗列一些定理实际上就是搞清楚 Lie 代数中的一些问题和一些好的性质。
THM1. 设 \(L\) 是 \(\mathbb{gl}(V)\) 的子代数(\(L\) 中的元素可理解为矩阵)，\(V\) 是有限维的，若 \(L\) 中元素都幂零，则存在 \(v \in V\) 使得 \(L(v) = 0\). 上面结果是讲，\(L\) 中元素都幂零，则 \(L\) 有公共的 \(0\) 特征向量。证明是很有技巧性的。构造一个 codemension 为 1 的子代数，并证明它是 \(L\) 不变子空间。然后数学归纳法完成证明。上面定理还说明我们可以取定一组基使 \(L\) 同时严格上三角。
THM2. 若 \(L\) 幂零，\(K\) 是 \(L\) 的非零理想,则 \(K \cap Z(L) \neq 0\)
THM3. 设 \(L\) 是 \(\mathbb{gl}(V)\) 可解子代数，\(V\) 是有限维的，则存在 \(L\) 存在公共特征向量。
上面定理还说明我们可以取定一组基使得 \(L\) 同时上三角。
THM4. 若 \(x \in EndV\)，则存在唯一的分解 \(x = x_s+x_n\)，其中 \(x_s\) 是半单的， \(x_n\) 是幂零的，且 \(x_s,x_n\) 都能表示成 \(x\) 的无常数项的多项式。将其称之为 Jordan-Chevally 分解。
THM5. 若 \(x\) 半单，则 \(ad_x\) 半单。若 \(x=x_s+x_n\) 是 Jordan-Chevally 分解，则 \(ad_x = ad_{x_s} + ad_{x_n}\) 也是。\(Der A\) 包含其元素的 半单部分和幂零部分。
THM6. $A B End V $，令 \(M = \lbrace x \in \mathbb{gl}(V) \mid [x,B] \subset A\rbrace\)。若 \(x \in M\) 满足，\(Tr(xy)=0\) 对任意 \(y\in M\) 成立，则 \(x\) 幂零。
THM7 \(L \subset \mathbb{gl}(V)\)，\(V\) 是有限维的, 则 对任意 \(x \in [L,L],\;y \in L\) 有 \(Tr(xy)=0\) 当且仅当 \(L\) 可解。
THM8 设 \(L\) 是 Lie 代数，对任意 \(x \in [L,L],\;y \in L\) 有 \(Tr(ad_x ad_y)=0\) 则 \(L\) 可解。
THM9 若 \(L\) 是半单的，则 \(L\) 可唯一写成单子理想的直和且 \(L=[L,L],Z(L)=0\) 且 \(L\) 的理想和同态像都是半单的。
THM10 \(ad L\) 是 \(Der L\) 的理想，且若 \(L\) 是半单的，则 \(ad L = Der L\)。