自然底数 e 的由来

自然底数 \(e\) 之所以重要，我想很大程度上是因为，指数函数 \(f(x)=e^x\) 是“唯一”(在常数倍意义下)满足导数等于本身的函数。因此 \(e\) 被叫做自然底数。

然而，\(e\) 的定义可以由一个常见的重要数列极限来定义。即 \[ e \doteq \lim _{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n \] 那么为什么右边极限存在呢，我们来仔细分析。 令 \[ a_n = (1+\frac{1}{n})^n ,\; b_n =(1+\frac{1}{n})^{n+1} \] 则，由 均值不等式 易知： \[ a_n = (1+\frac{1}{n})^n \cdot 1 \leq [\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}]^{n+1} =a_{n+1} \] 且 \[ \frac{1}{b_n} = (\frac{n}{n+1})^n \cdot 1 \leq [\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}]^{n+2} = \frac{1}{b_{n+1}} \] 因此 \(2 = a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1 = 4\)。由于单调有界序列必有极限，不妨把这个极限记作 \(e\) 且由上面推理知 \(2 < e < 4\)。

补充说明

\[ f_n = (1+\frac{1}{n})^{n+c},\quad g_n = (1+\frac{1}{n})^{n+d} \]

那么满足\(f_n \leq e < g_n\) 的最大的\(c=\frac{1}{ln⁡2}−1\)，最小的\(d = \frac{1}{2}\)，详细证明

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