幂零矩阵的一个充要条件

前几天一个学弟告诉我，关于复数域上幂零矩阵 \(A\) 的一个充要条件： \[ A = AB-BA, \quad \exists B \in M_n(\mathbb{C}) \] 特此记录。

证明分几个小步骤：

1. 必要性对若当块成立，若\(A\)为（上三角）若当块，那么取 \(B=diag \lbrace 0,1,⋯,n−1 \rbrace\) 即可，若 \(A\) 为分块若当块（若当标准型），那么取对应的分块 \(B\) 即可。又由于 \[ P^{-1}AP = P^{-1}APP^{-1}BP - P^{-1}BP P^{-1}AP \] 因此，由对若当标准型成立,可知道对一般形式成立。

2. \(tr(A^k) = 0, 1 \leq k \leq n\) ，则\(A\) 幂零。

   由若当标准型可知，只需证明： \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \\ x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \cdots + x_n ^2 = 0 \\ \cdots \\ x_1 ^ n + x_2 ^n + \cdots + x_n ^n = 0 \end{cases} \] 推出，\(x_1 = x_2 = \cdots x_n = 0\) ，不妨设 \[ \begin{cases} x_1 t_1 + x_2 t_2 + \cdots + x_r t_r = 0 \\ x_1 ^ 2 t_1 + x_2 ^ 2 t_2 + \cdots + x_r ^2 t_r= 0 \\ \cdots \\ x_1 ^ r t_1 + x_2 ^r t_2 + \cdots + x_r ^r t_r = 0 \end{cases} \] 其中 \(x_i\) 互不相同，那么，假设 \(r>1\) 则由 Vandemode 行列式不为 0 知， \(t_i = 0\) 矛盾，因此 \(r=1\)， 此时 \(x_i=0\)。

3. \(C=AB-BA\) 且 \(AC=CA\) 则，\(C\) 幂零。 \[ \forall k,tr (C^k) = tr(C^{k-1}AB - C^{k-1}BA) =tr(C^{k-1}AB) - tr(AC^{k-1}B) = 0 \] 因此由上面结论知，\(C\) 幂零

4. 综合上述结论，充分性显然。