幂零矩阵的一个充要条件 前几天一个学弟告诉我,关于复数域上幂零矩阵 \(A\) 的一个充要条件: \[ A = AB-BA, \quad \exists B \in M_n(\mathbb{C}) \] 特此记录。 2017-04-01 #math #matrix
Kaplansky 定理 (非交换)环中有一个有趣的(Kaplansky)定理说: 如果环 \(R\) 中元素 \(a\) 有不止一个右逆,那么 \(a\) 有无数多个右逆。 像极了出轨只有零次,或者无数次。 2017-03-25 #math
Zariski Topology on $k^n$ \(k^n\) 最常见的拓扑自然是欧式拓扑,但是下面介绍的 Zariski 拓扑也是十分重要和“常见”的拓扑,并且它也保持了很多自然的性质,又有其独特的地方,值得了解一番。 详见 Jacobson《Basic Algebra 2》 2017-03-23 #math #note
玩具:HC6800-ES 开发版 这里记录一些我的新玩具: 51 单片机 的基础常识,作为初学者,下文必然是错误百出。 很久没更新博客了,毕竟很久没写程序了。数学类的嵌套的定义又太多,很不好写。 2017-03-19 #cpp #note
五引理 在同调代数中,Five lemma,Snake lemma,Nine lemma (五引理,蛇形引理,马蹄引理)都是重要的引理。这里介绍一下 五引理。其实它的一般形式是有两个四引理得出的 2016-10-11 #math
博弈论 2002 年张一飞写过一篇论文 《由感性认识到理性认识-透析一类博弈游戏的解答过程》 把了这类博弈问题带到了大众视野,在此留下学习笔记(参考了很多的内容:原始论文,codeforces,Wiki,各种博客:小蒟蒻yyb, 自为风月马前卒 等等,无法一一列举) 其实我一直想把这个做成自动化的,或者说网页类游戏的,但是一直没有这个精力,而且它们有很多共性,但是由于参数不同很统一,但是不同意又有很多重 2016-05-29 #algorithm #cpp
自然数方幂和公式及其快速算法 自然数方幂和公式 关于自然数方幂和公式,网上的求解版本有很多种。这里介绍一种不为人知,十分简洁明了的求解方法,该公式并非原创,但是整个证明过程和方法完全原创。它的思想来源于我高中时在一本数学竞赛书中的数列例题(书名忘了...),正因为一本本这样的书,让我大学选择了数学系,现在依然在学习数学。 2016-05-21 #math
输出源代码本身的源代码 我们可以把计算机看成一个函数,将一份代码映成一段输出,那么输出为代码本事就是数学中不动点。 任意语言都有很多相应版本的这种程序,原理都是类似的,目前有 cpp 和 python 的版本 2016-05-09 #algorithm #cpp #python
$\pi(x)$ 的计算 \(\pi(x)\) 表示不超过 \(x\) 的素数个数。容易看出可以在 \(O(N)\) 时间复杂度,\(O(N)\) 空间复杂度离线预处理求出小于 \(N\) 的素数全体。但是如果 \(N=10^{14}\) 或者更大,这种做法必然是不现实的。因此下面给出高效的求解方法... 理论基础: 参考潘承洞《数论基础》以及论文包.zip 2016-04-21 #math #algorithm #cpp
环的 Zariski 拓扑(素谱) 设 \(A\) 是(交换)环。令 \(X\) 为 \(A\) 的素理想全体,定义 \(V(E)\) 为 \(A\) 中包含 \(E\) 的素理想全体,则将所有 \(V(E)\) 看做闭集,它满足拓扑空间三条公理,即构成了拓扑,该拓扑称作 Zariski 拓扑,这个拓扑空间叫做环 \(A\) 的素谱,记作 \(Spec(A)\)。 有了拓扑,我们自然要考虑: 集合的内部、闭包 拓扑的基,拓扑的分离 2016-04-17 #math