李代数
近期在整理 Lie Algebra 课的笔记，还是很喜欢这门课的，主要是本科时候矩阵玩的特别 6，然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说，这些虽然很有技巧，但是你花时间都是可以处理的，会技巧没什么了不起，脑袋稍微好一点就能做这种事，长期技巧的训练其实意义并不大，应该更关注数学内部的东西，具体说就是一个代
矩阵的 Jordan 分解
最近在整理李代数（Lie Algebra） 内容时，里面提到了 Jordan 分解，这里就详细介绍并证明几个相关结果。 若矩阵 \(A,B\) 可交换，则它们有公共特征向量。 若矩阵 \(A,B\) 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 \(A,B\) 交换 每一个矩阵 \(A\) 都可以唯一分解成 \(A=B+C\), 其中 \(B\) 可对角化（半单部分），\(C\) 幂零。且 \(B
华罗庚恒等式
华罗庚恒等式有两个，都看似奇怪但都有其深刻的应用(数学内部的) 若在一个环中 \(a,b,1-ab\) 都可逆，则 \[ \left( (a-b^{-1})^{-1} - a^{-1} \right)^{-1} = aba - a \] 若在一个环中 \[ a = \left( b^{-1} - (a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right) \left (a^{-1} b^{-1}
Fermat 平方和定理
Fermat 平方和定理的表述为：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被 4 除余 1（必要性显然）。这个结论首次由 Euler 在 1747 年给出证明。详细叙述如下：
自然底数 e 的由来
自然底数 \(e\) 之所以重要，我想很大程度上是因为，指数函数 \(f(x)=e^x\) 是“唯一”(在常数倍意义下)满足导数等于本身的函数。因此 \(e\) 被叫做自然底数。
均值不等式的证明
初中就学过最简单的均值不等式 \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},a ,b \geq 0\)。它的证明只需配方就知道了，这里介绍一下一般的均值不等式: \[ \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} \geq \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n a_i } \]