二次剩余和 Gauss 互反律
从二次剩余问题，引入 Legendre 符号，由此一步步导出 Gauss 互反律，最后延伸到 Jacobi 符号，整个步骤确实连贯优美，脍炙人口。
二项式反演公式及其应用
在 上一篇博文 中，介绍过数论中的 Möbius 反演公式，让我想起了另一个经典的反演公式：二项式反演公式。本质上反演公式就是矩阵求逆的过程。 只是它的逆有很简单的形式，因此才有了二项式反演公式，这个公式帮助我们队伍在 2014 年 ACM－ICPC 亚洲区域赛西安站拿银，当时 F 题答案直接算需要 \(O(n^3)\) 复杂度，而利用二项式反演公式后，可以在 \(O(n^2)\) 复杂度内完美解
Perron-Frobenius 理论
1907 年 O.Perron 发现正矩阵的谱有特别有趣的性质。G.Frobenius 在 1908-1912 年间将 Perron 的工作推广到不可约非负矩阵的情形，并得到了新的进一步结果。Ferron-Frobenius 理论有很多证明方式，下面介绍 H.Wielandt 的优美证明。（一步步的读下去会发现很清晰明了简单） 非负矩阵的谱半径（下面有定义）是它的一个特征值，并且这个特征值对应着
Schur 定理
在研究一个数学对象时，我们经常会对它进行分类。比如我们通常把数分为：实数，虚数；实数又分成有理数，无理数；当然也有按照正负来分的。还有整数分成素数（也叫质数）和合数，等等。现在我们谈谈矩阵的分类，以下默认矩阵是方的。