环的 Zariski 拓扑(素谱)

最后更新于：2023年2月24日 下午

设 \(A\) 是(交换)环。令 \(X\) 为 \(A\) 的素理想全体，定义 \(V(E)\) 为 \(A\) 中包含 \(E\) 的素理想全体，则将所有 \(V(E)\) 看做闭集，它满足拓扑空间三条公理，即构成了拓扑，该拓扑称作 Zariski 拓扑，这个拓扑空间叫做环 \(A\) 的素谱，记作 \(Spec(A)\)。

有了拓扑，我们自然要考虑：

  1. 集合的内部、闭包
  2. 拓扑的基，拓扑的分离性，紧性
  3. 空间的连通性，不可约性
  4. 拓扑空间的连续函数等等概念

在这个具体拓扑下的样子。

Zariski 拓扑

要证明 \(T = \lbrace V(E),E \subset A \rbrace\) 作为闭集确实构成了一个拓扑，即证明 \(\emptyset \in T,X \in T\)，且 \(T\) 中任意并，有限交运算是封闭的。而显然我们有

  1. \(V(0)=X,V(A)=\emptyset\)
  2. \(\cap_{i \in I} V(E_i) = V(\cup_{i \in I}E_i)\)
  3. 为说明 \(V(E_1) \cap V(E_2) \in T\) 我们需要一些准备工作。

设 \(I(E)\) 为由 \(E\) 生成的理想，定义 \[ \sqrt{\alpha} = \lbrace x\in A : x^n \in \alpha \rbrace \] 则显然我们有

  1. \(\alpha \subset \sqrt{\alpha} = \sqrt{\sqrt{\alpha}}\)
  2. \(\sqrt{\alpha \beta} = \sqrt{\alpha \cap \beta} = \sqrt{\alpha} \cap \sqrt{\beta}\)
  3. \(\sqrt{\alpha}=(1) \Leftrightarrow \sqrt{\alpha}\)
  4. \(\sqrt{\alpha+\beta} = \sqrt{ \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta} }\)
  5. 若 \(p\) 是素理想，\(\sqrt{p} = p\)。
  6. \(V(E)=V(I(E))=V(\sqrt{I(E)})\)
  7. \(V(\alpha \cap \beta)=V(\alpha \beta)=V(\alpha) \cup V(\beta)\)
  8. \(\cap_{p \in V(\alpha)} p = \sqrt{\alpha}\)
  9. \(V(E_1) = V(E_2) \Leftrightarrow \sqrt{I(E_1)} = \sqrt{I(E_2)}\)

因此，\(V(E_1) \cap V(E_2) = V(I(E_1)) \cap V(I(E_2)) = V(I(E_1) \cap I(E_2)) \in T\)。这说明它确实满足拓扑空间的三条公理。

例子

有了拓扑之后，我们自然用具体的例子来看一下，这个拓扑大致长什么样子。 考虑 \(Spec(\mathbb{Z})\) ，此时 \(X = \lbrace (p) : p\text{ is prime } \rbrace \cup (0)\)。可以看出，包含 \((0)\) 闭集仅有 \(X\)，除 \((0)\) 外，\(X\) 中的单点集全是闭集。因此 \(Spec(\mathbb{Z})\) 不是 \(T_1\) 空间，由此可见，一般地，\(Spec(A)\) 不是 \(T_1\) 空间，即此拓扑的分离性很差。

内部和闭包

因为在一般的拓扑理论中我们有 \(A^{o} = \overline{A^c} ^c\)，因此，我们只需搞清楚 \(A^{o}\) 和 \(\overline{A}\)中任意一个即可，我们考虑闭包(\(\overline{A}\))。对于 \(Y \subset X\)。若 \(Y \subset V(E)\) 则 \(\forall \; p \in Y, E \in p\),即 $ E _{p Y} p$。因此 \(Y \subset V(\cap_{p \in Y}) \subset V(E)\)。因此 \(\overline{Y} = V(\cap_{p \in Y})\)。 特别地，

  1. \(\overline{\lbrace p_x \rbrace} = V(p_x)\)
  2. \(\overline{\lbrace p_x \rbrace} = \lbrace p_x \rbrace \Leftrightarrow p_x\) 是极大理想。
  3. \(p_y \in \overline{\lbrace p_x \rbrace} \Leftrightarrow p_x \subset p_y\)
  4. \(X\) 是 \(T_0\) 空间（\(p_y \notin \overline{\lbrace p_x \rbrace}\) 或者 \(p_x \notin \overline{\lbrace p_y \rbrace}\)）。

因此，这样就很清楚为何在之前的例子\(Spec(\mathbb{Z})\)中除\((0)\)外单点集都是闭集了。有了之前的结论我们再看一下其他的例子。 \(Spec(\mathbb{R})\)：此时 \(X = \lbrace 0 \rbrace\) 只有一个元素拓扑是平凡的。 因为 若 \(A\) 为域,则 \(A[x]\) 为 ED 为 PID，其素理想为 \((f)\) 不可约多项式。且 PID 中非零素理想就是极大理想。 \(Spec(\mathbb{C}[x])\): 此时 \(X = \lbrace (x+t): t \in \mathbb{C} \rbrace \cup \lbrace (0) \rbrace\) \(Spec(\mathbb{R}[x])\): 此时 \(X = \lbrace (x+t): t \in \mathbb{R} \rbrace \cup \lbrace (x^2+ax+b): a,b \in \mathbb{R},a^2 < 4b \rbrace \cup \lbrace (0) \rbrace\)

基，紧性

由于 \(V(\cup_{i \in I}E_i) = \cap_{i \in I} V(E_i)\) 我们定义 \(X_E = X \setminus V(E)\)。则 \(X_E = \cup_{f \in E} X_f\) 这说明 \(X_f,f \in A\) 确实构成了 \(X\) 的一组基。\(X_f\) 表示不包含 \(f\) 的素理想全体。

  1. \(X_f \cap X_g = X_{fg}\)
  2. \(X_f = \emptyset \Leftrightarrow f\) 是幂零的。
  3. \(X_f = X \Leftrightarrow f\) 是单位。
  4. \(X_f = X_g \Leftrightarrow \sqrt{(f)} = \sqrt{(g)}\)

\(X\) 是拟紧的

这里的拟紧,实际上就是一般点集拓扑学中的紧，在代数中紧这个概念是拟紧＋Hausdorff。

我们只需证明：若 \(\cup_{f \in S} X_f = X\) 则存在有限并使上式成立。实际上，

\[ \cup_{f \in S} X_f = X \Leftrightarrow V(I(S))=V(S) = \emptyset \] 因此 \(I(S)=A\)，即 \(1 = \sum_{i=1}^n a_i s_i\)。所以\(I(s_1,\cdots,s_n) = A\)，即 \(\cup_{i=1}^n X_{s_i} = X\)。证毕。

\(X_f\) 是拟紧的

我们只需证明：若 \(X_f \subset \cup_{g \in S} X_g\)，则存在有限并使上式成立。实际上，

\[ X_f \subset \cup_{g \in S} X_g \Leftrightarrow V(\sqrt{I(S)}) = V(S) \subset V(f) \] 因此 \(f \in \sqrt{I(S)}\)，即 \(f^m = \sum_{i=1}^n a_i s_i\)。所以 \(f^m \in I(s_1,\cdots,s_n)\)即。\(X_f \subset \cup_{i=1}^n X_{s_i}\)。证毕。

任意开集 \(Y \subset X\) 是拟紧的当且仅当 \(Y\) 可以写成有限多个 \(X_f\) 的并

Proof: 由 \(X_f\) 是拟紧的知道，“\(\Leftarrow\)” 是显然的。 “\(\Rightarrow\)” 是因为存在\(E \subset A\) 使得 \[ Y = X_E = \cup_{f \in E} X_f \] 是 \(Y\) 的一个开覆盖，由于是拟紧的，因此可以写成有限个 \(X_f\) 的并，证毕。

以上结论来自 Atiyah《An Introduction to Coummutative Algebra》习题。