Zariski Topology on $k^n$

最后更新于：2023年2月24日 下午

\(k^n\) 最常见的拓扑自然是欧式拓扑，但是下面介绍的 Zariski 拓扑也是十分重要和“常见”的拓扑，并且它也保持了很多自然的性质，又有其独特的地方，值得了解一番。

详见 Jacobson《Basic Algebra 2》

Zariski Topology

给定一个交换环 \(A\) ,\(Spec(A)\) 表示 \(A\) 理想全体构成的集合，带上一个 Zariski topology，拓扑中闭集为所有形式 \[ V(I)=\lbrace P \in Spec(A) | I \subset P \rbrace , I \subset A \] 的集合，那么它必然会满足拓扑关于闭集的公理。

\(k^n\) 上的 Zariski 拓扑

由于 \(k^n=\lbrace(a_1,a_2,\cdots,a_n)| a_i \in k \rbrace\) 到 \(k\) 的多项式函数与 \(k[x_1,x_2,\cdots,x_n]\) 同构。所有 \(k^n\) 上的拓扑

本质上是由交换环 \(k[x_1,x_2,\cdots,x_n]\) 的 Zariski 拓扑所确定。 \[ V(S)=\lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n) \in k^n | f(a_1,a_2,\cdots,a_n) = 0 , \forall f \in S \rbrace \]

  1. \(V(k[x_1,x_2,\cdots,x_n]) = \emptyset\)

  2. \(V(\emptyset)=k[x_1,x_2,\cdots,x_n]\)

  3. \(\cap_{i \in I} V(S_i) = V(\cup_{i \in I} S_i)\)

  4. \(V(S) = V(I(S))\)

  5. \(V(I_1) \cup V(I_2) = V(I_1 I_2)\)

所以，上述 \(V(S)\) 全体作为闭集构成了 \(k^n\) 的一个拓扑，称为 \(k^n\) 上的 Zariski 拓扑。

性质（设 \(k\) 是代数闭域）

  1. 拓扑基： \(k^n\) 中开集有形式 \(k^n \setminus V(S) = \cup_{f \in S} O_f\) 其中 \(O_f = k^n \setminus V(f)\) 为开集。 因此 \({O_f|f \in k[x_1,x_2,⋯,x_n]}\) 构成了 \(k^n\) 上的拓扑集

  2. \(k^a\) 是 \(T_1\)空间。

  3. \(k^n\) 是不可约空间，即有限个非空开集交集非空。

  4. \(k^n\) 多项式映射在 Zariski 拓扑下连续。