装逼题目

数学老师想好了两个自然数 \(m,n\) 满足 \(2 \leq m \leq n \leq 100\) ,他把 \(m,n\) 的和 \(s\) 告诉了 \(S\) 同学，把 \(m,n\) 的积 \(p\) 告诉了 \(P\) 同学，他们都是聪明诚实的学生。进行了下面对话

• \(S\): 我不知道 \(m,n\) 的值，但我知道你也不知道。
• \(P\): 现在我知道了。
• \(S\): 现在我也知道了。

请问 \(m,n\) 的值。

1. 由第一句话，我们知道 \(s \geq 6\),且 \(p\) 中无大于或者等于 53 的质因数。但是 \(S\) 是如何知道的呢，可见 \(s \leq 54\)。对 数 \(6 \to 54\) 逐一检查发现，除了\(A = \lbrace 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53 \rbrace\)的其他元素外，其余每个数都可以表示成两个素数的和，因此从第一句话知道，$ s A$。

2. 刚刚推理 \(P\) 同学当然也能完成。由于 \(A\) 中的元素全是奇数，因此，若 \(p = 2^k \cdot (2v+1), k \geq 0, v \geq 0\) 或者 \(p = 2^k \cdot (2v+1)(2j+1), k \geq 0, v \geq 0, j \geq 0\) 则 \(P\) 同学就能确定的知道答案。

3. \(S\) 同学最后也知道了 \(m,n\) 的值，说明在 \(s\) 所有分解 \(s = m+ n, 2 \leq m \leq n \leq 100\) 中，且有一种满足 \(xy = 2^k v\)。 检查 \(11 = 4+7 = 3+8\), \(23 = 4 + 19 = 7+16\), \(27 = 4+23 = 8+19\), \(35=4+31=16+19\), \(37 = 8+29 = 5+32\), \(47= 4 + 43 = 16+31\), \(51 = 4+47 = 8+43\)。 又因为 \[ 29 = 4 + 25 = 13 +16,\; 41 = 4+37 = 16 + 25,\; 53 = 16 +37 = 21 + 32 \] 其中 \(4 \times 25 = 100 = 20 \times 5\), \(20+5 =25 \notin A\), \(16 \times 25 = 400 = 80 \times 5\), \(80+5 =85 \notin A\), \(21 \times 32 = 672 = 7 \times 96\) ,$ 7+96 =103 A$。 因此，只可能 \(s=17\) \[ 17 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7 +10 = 8+9 \] 其中只有 \(17 =4 + 13\) 满足 \(P\) 的断言，因此 \(m = 4,n=13\)。

此题是我高三（2011 年）在《奥赛金牌之路》中所见，实在很吊，一直铭记于心,特此记录。